直线数学概念

直线（line），是它上面的点一样的平放着的线。《几何原本》欧几里得著。直线，是一个点在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的轨迹；不弯曲的线。直线是几何学的基本概念，在不同的几何学体系中有着不同的描述。在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象，而数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。

中文名

直线

所属学科

几何学

英文名

straight line

例如

一根拉紧的绳子

定义

直线

直线

（Straight line）是几何学基本概念，是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。或者定义为：曲率最小的曲线（以无限长为半径的圆弧）。

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行；有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点。常用直线与X 轴正向的夹角（ 叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。

在非欧几何中直线指连接两点间最短的线，又称短程线。

方向向量：截取直线l上两点A（l,n,0）和B（k+l,m+n,1）方向向量为：AB=（k,m,1）

目录介绍

欧几里得的《几何原本》共有十三卷。

第一卷：几何基础重点内容有三角形全等的条件（全等三角形判定定理），三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理（又称毕氏定理）的正逆定理；

第二卷：几何与代数

讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。

第三卷：圆与角

本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。

第四卷：圆与正多边形

讨论圆内接四边形和外切多边形的尺规作图作法和性质。

第五卷：比例

讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一"。

第六卷：相似

讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。

第七、八、第九、第十卷：初等几何数论讲述算术的理。第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理数（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。

第十一卷：立体几何

第十二卷：立体的测量

第十三卷：建正多面体

最后讲述立体几何的内容以及立体几何的相关体积、侧面积、表面积的计算与证明。

从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。[1]

直线的对称性

直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有任意一条与它垂直的直线。

因为在直线的任意一点作它的垂线，直线可以看作被分成两条方向相反的射线，将一条射线沿这条垂线折叠，这两条射线就重合了。所以说，直线有无数条对称轴。[2]

特点

没有端点，可以向两端无限延长，长度无法度量。

直线的方程

平面方程

1、一般式：适用于所有直线

Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)

2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为

y-y0=k(x-x0)

当k不存在时，直线可表示为

x=x0

3、斜截式：在y轴上截距为b（即过(0，b)），斜率为k的直线

由点斜式可得斜截式y=kx+b

与点斜式一样，也需要考虑K存不存在

4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线

知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为

bx+ay-ab=0

特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1

5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线

(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)（斜率k需存在）

6、法线式

Xcosθ+ysinθ-p=0

其中p为原点到直线的距离，θ为法线与X轴正方向的夹角

7、点方向式（X-X0）/U=(Y-Y0)/V

(U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的式子)

8、点法向式

a（X-X0）+b（y-y0）=0

空间方程

1、一般式

ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0

2、点向式：

设直线方向向量为（u,v,w），经过点（ x0,y0,z0）

（X-X0）/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w

3、x0y式

x=kz+b,y=lz+b

直线与一次函数

一次函数y=kx+b(x∈R,k∈R,b∈R,y∈R)的图象是一条直线,其与y轴交于(0,b),与x轴交于(-b/k,0)

仰角(与x轴正半轴的交角θ∈(0,π))满足

(1)当θ∈(0,π/2)时,θ=arctank

(2)当θ∈(π/2,π)时,θ=π + arctank

直线的位置关系

直线和直线

平面几何：平行和相交

在同一平面的两条直线之间，有平行、相交（包括垂直）、重合三种位置关系。

设直角坐标平面上两条直线的方程分别为：

L1：a1X+b1Y+c1=0

L2：a2X+b2Y+c2=0

当a1/a2≠b1/b2则两直线相交

当a1/a2=b1/b2≠c1/c2则两直线平行

当a1/a2=b1/b2=c1/c3则两直线重合

当a1a2+b1b2=0则两直线垂直

空间几何：异面，平行和相交

l1：x=kz+b,y=lz+a l2:x=k1z+b1,l1z+a1=y

相交：有公共点

平行：k1/k=l1/l

异面：无公共点且k1/k≠l1/l

垂直：k*k1+l*l1=-1

直线和平面

设直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f 属于：p=0,q=0 　平行：p=0,q≠0 　相交：p≠0

直线公理

在平面上过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。

而在球面上，过两点可以做无数条类似直线。

有关直线

角

设平面e的法向量为c直线m、n的方向向量为a、b

把平面ax+by+cz+d=0的法向量为（a,b,c）；直线x=kz+b,y=lz+a的方向向量为(k,l,1)代入即可

则直线所成的角：m，n所成的角为a。

cosa=cos

=|a*b|/|a||b|

直线和平面所成的角：设b为m和e所成的角，则b=π/2±

。sinb=|cos

|=|a*c|/|a||c|

平面两直线所成的角：设K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1)tan

=(k1-k2)/(1+k1k2)

距离

异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n，C、D为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos

|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；

点到直线的距离：A∈l,O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。

易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin

|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

平面内：直线ax+by+c=0到M(m,n)的距离为|am+bn+c|/(a^2+b^2)^1/2

平行直线：l1ax+by+c=0,l2ax+by+d=0l1到l2的距离为|c-d|/(a^2+b^2)^1/2

备注：

直线是曲线的暂短停留。

参考资料

1.几何原本·哔哩哔哩

2.直线比射线长对吗·品略网

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