(新高考)高考数学二轮精品复习专题05《圆锥曲线中的定点问题》(解析)

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1、专题05 圆锥曲线中的定点问题一、多选题 1设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A若，则B若，直线AB过定点C若，到直线AB的距离不大于1D若直线AB过抛物线的焦点F，且，则【答案】ACD【分析】设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.【详解】B.设直线方程为，将直线方程代入抛物线方程，得，则，于是直线方程为，该直线过定点故不正确；C.到直线的距离，即正确；A.正确；D.由题得,所以，不妨取.所以，所以直线AB的方程为，所以.由题得=.所以.所以D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生。

2、分析解决问题的能力，考查学生的计算能力解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.2设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）A为定值B直线过抛物线的焦点C最小值为16D到直线的距离最大值为4【答案】ACD【分析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，设直线，代入可得，所以，即，所以直线过点，而抛物线的焦点为，故B错误；对于C，因为，当时，等号成立，又直线过点，所以，故C正确；对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.故。

3、选：ACD.【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.二、单选题3已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）ABCD且【答案】D【分析】由直线恒过点，将问题转化为点在椭圆上或椭圆内，可得选项.【详解】因为直线恒过点，为使直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆上或椭圆内，所以，即.又，所以且.故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.三、解答题4已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点M(2，m)(m0)在抛物线上，且|MF|2.（1）求抛物线C的方程；（2）若点P(x0，y0)为抛物线上。

4、任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.【答案】（1）x24y；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可得m2，再由2pm4，即可求解.（2）讨论x00或x00，利用导数求出点P处的切线的方程l0，再求出过点F且与切线l0垂直的方程，两方程联立求出交点即可求解.【详解】（1）由抛物线的定义可知，|MF|m2，又M(2，m)在抛物线上，所以2pm4，由解得p2，m1，所以抛物线C的方程为x24y.（2）证明：当x00，即点P为原点时，显然符合；x00，即点P不在原点时，由（1）得，x24y，则yx，所以抛物线在点P处的切线的斜率为x0，所以抛物线在点。

5、P处的切线l0的方程为yy0x0(xx0)，又4y0，所以yy0x0(xx0)可化为yx0xy0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y1x.联立方程得消去x，得y(y1)y0.(*)因为4y0，所以(*)可化为yyy0，即(y01)y0，由y00，可知y0，即垂足必在x轴上.综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出切线方程以及切线的垂线方程，综合性比较强，考查了计算求解能力.5已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|2.（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线yx3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.【答案】（1）x24y；（2）证明见解析.【分析】（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程；（2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点【详解】（1）由题意得，解得，所以，抛物线的标准方程为.（2）证明：设点、，设直线的方程为。

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