上海市重点大学附中2022-2023学年高二下学期期中数学试题（无答案）

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1、上海市重点大学附中高二期中考试数学试卷2023.04一.填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第16题每题4分，第712题每题5分）1.过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是_.2.已知直线与平行，则实数m的值为_.3.圆与圆的公共弦所在直线的一般式方程为_.4.若A为椭圆上的点，、为椭圆的左右焦点，则的周长为_.5.己知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为_.6.已知直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程为_.7.若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径r的取值范围是_.8.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律即所有行星

2、绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为_.9.若直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，则_.10.已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为_.11.若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是_.12.如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为_.二.选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“且”是“表示圆的方程”的（ ）条件

3、A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.直线关于直线对称的直线方程为（ ）A.B.C.D.15.已知，则双曲线与的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等16.定义曲线为椭圆的“倒曲线”，给出以下三个结论：曲线有对称轴；曲线有对称中心；曲线与椭圆C有公共点.其中正确的结论个数为（ ）A.0B.1C.2D.3三.解答题（本大题共5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）.17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知直线和的交点为P.（1）求直线与的夹角的大小；（2）若直线l过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为32，求直线l

4、的方程.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知直线，椭圆.（1）证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；（2）已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度.（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；（2

5、）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知抛物线焦点为，抛物线上存在不同两点A、B（异于原点O）（1）求抛物线的方程；（2）若直线AB的倾斜角为且抛物线焦点F到直线AB的距离不小于1，求直线AB在y轴上的截距n的取值范围；（3）若点A、B、F三点共线，求的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.（1）若点M的坐标为，求的面积；（2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；（3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.4

18.(14分)如图所示,一轻弹簧直立在水平地面上,轻质弹簧两端连接着物块B和它们的质量分别为mB=0.1kg,mC=0.3kg,,开始时B、C均静止。现将一个质量为mA=0.1kg的物体A从B的正上方h=0.2m高度处由静止释放,A和B碰后立即粘在一起,经t=0.1s到达最低点,之后在竖直方向做简谐运动。在运动过程中,物体C对地面的最小压力恰好为零。已知弹簧的弹性势能表达式Ep=12kx^2((k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量),弹簧在运动过程中始终在弹性限度范围内,忽略空气阻力,重力加速度g=10m/s^2。,求:A(1)物块A、B碰后瞬间的速度大小;(2)弹簧的劲度系数k及物块C对地面的最大压力。

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