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2023年全国高考猜题信息卷(三)文理 数学试卷答案
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15．证明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|．
分析（1）先将tanC写成$\frac{sinC}{cosC}$，再展开化为sin（C-A）=sin（B-C），从而求得A+B；
（2）先用正弦定理，再用面积公式，结合A-B的范围，求面积的范围．
解答解：（1）∵tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，∴$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
即sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
所以，sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
因此，sin（C-A）=sin（B-C），
所以，C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立），
即2C=A+B，故C=$\frac{π}{3}$；
（2）根据正弦定理，外接圆直径2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=1，
所以，a=2RsinA=sinA，b=2RsinB=sinB，
而S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{8}$[cos（A-B）-cos（A+B）]
=$\frac{\sqrt{3}}{8}$[cos（A-B）+$\frac{1}{2}$]，
其中，A+B=$\frac{2π}{3}$，所以，A-B∈（-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
因此，cos（A-B）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
所以，S△ABC=∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{16}$]，
故△ABC面积S的取值范围为：$S∈（{0，\frac{3}{16}\sqrt{3}}]$．
点评本题主要考查了三角函数的恒等变换，涉及同角三角函数基本关系式，两角和差的正弦公式，以及运用正弦定理解三角形和面积的求解，属于中档题．
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