2023届衡水金卷先享题压轴卷(二)辽宁专版文理 数学

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2023届衡水金卷先享题压轴卷(二)辽宁专版文理 数学试卷答案

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3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{2+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并指明C是什么曲线；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求证|PQ|为定值．

分析由椭圆的方程可得a²和b²，进而可得c值，可得抛物线C的焦点，可得p值，进而可得抛物线C的方程，联立椭圆与抛物线的方程可得P的坐标，由抛物线的焦半径公式求得|PF₂|，再由椭圆定义求得|PF₁|．

解答解：由椭圆的方程可得a²=4，b²=3，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
故椭圆的右焦点F₂为（1，0），即抛物线C的焦点为（1，0），
故可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，故2p=4，
∴抛物线C的方程为：y²=4x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{2\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
∵P为第一象限的点，∴P（$\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$|P{F}_{2}|=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，
则$|P{F}_{1}|=2a-|P{F}_{2}|=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$．
故选：B．

点评本题考查抛物线的标准方程以及椭圆的标准方程，涉及两点间的距离公式，属中档题

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