2023年普通高中学业水平选择性考试 23·(新高考)高考样卷(一)·HEB文理 数学

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2023年普通高中学业水平选择性考试 23·(新高考)高考样卷(一)·HEB文理 数学试卷答案

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11．已知函数f（x）=（mx+1）（1nx-3）．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．

分析由[x]≤x，可得0＜x≤1，讨论x=1和0＜x＜1，结合函数的单调性和零点存在定理，即可得到所求解的个数．

解答解：由[x]≤x，即有x+log₂x=[x]≤x，
即log₂x≤0，可得0＜x≤1，
当x=1时，有1+log₂1=1成立；
当0＜x＜1时，[x]=0，即有x+log₂x=0，
令f（x）=x+log₂x，f（x）在（0，1）递增，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-1＜0，f（1）=1＞0，
则f（x）在（0，1）有且只有一个零点，
即方程仅有一解．
综上可得原方程的解有两个．
故选C．

点评本题考查方程的解的个数，考查函数零点存在定理的运用，以及运算能力，属于中档题．

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