(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题7.6《数学归纳法》(解析)

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1、专题7.6 数学归纳法新课程考试要求1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.考向预测1.数学归纳法原理；2数学归纳法的简单应用.3利用数学归纳法证明数列相关问题.【知识清单】知识点一数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2.数学归纳法的框图表示【考点分类剖析】考点一 利用数学归纳。

2、法证明不等式【典例1】（2021浙江高三专题练*）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，证明【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.【详解】（1）由，是，的等差中项，可得，即，即，解得或，又因为，所以，又由，所以，因为数列的前项和为，当时，当时，当时，满足上式，所以，所以.（2）先用数学归纳法证明当，当时，左式右式，不等式成立；。

3、假设时，不等式成立，即，当时，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立.由得证当，所以.【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；(2)求证:.【答案】(1) ;猜想;(2)证明见解析【解析】(1)猜想(2)所以(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；(2)假设时，不等式成立，即，那么当时，只要证明成立，只要证明即证只要证明即证，即证只要证明，显然成立，所以时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.【例3】（2021全国高三专题练*）已知函数，对于任意的，都有.（。

4、1）求的取值范围（2）若，证明：()（3）在（2）的条件下，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明()；（3）由，解得，变形得，又，所以，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.【详解】（1）由题得，恒成立，故：（2）当时，函数在(1，)上是单调递增函数.下面用数学归纳法证明：当时，由得成立.假设当时，结论成立.即：那么当时这表明当时不等式也成立，综合可知：当，时成立（3）且令，则。

5、在上递增由（2）知：又左边【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1. （2021浙江高三专题练*）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）；（III）.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（）见解析.【解析】（I）用数学归纳法可证明；（）由（）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （）由及，递推可得.【详解】（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故 因此，所以，因此（）由得，记函数，函数在上单调递增，所以，因此，故（）因为，所以，由，得，所以，故综上，2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.（）求数列的通项公式；（）证明：，.【答案】（）；（。

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