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江西省2023年吉安市七校联谊考试七年级文理 数学试卷答案
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10．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，$\overrightarrow{m}$=$（{a，\sqrt{3}b}）$，$\overrightarrow{n}$=（sinB，cosA），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，b=2，$a=\sqrt{7}$，则△ABC的面积为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $2\sqrt{3}$ |
分析（Ⅰ）由正弦定理及已知可解得tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简可得sinAcosC=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，结合范围0$＜A＜\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围．
解答（本题满分为10分）
解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，$\frac{sinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}{b}$．
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，可得tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…4分
（Ⅱ）∵sinAcosC=-sinAcos（A+B）=-sinAcos（A+$\frac{π}{3}$），
∴-sinAcos（A+$\frac{π}{3}$）=-sinA（$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴sinAcosC∈[$\frac{-2+\sqrt{3}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$]…10分
点评本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质及两角和的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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