(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题2.2《基本不等式及其应用》(解析)

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1、专题2.2 基本不等式及其应用新课程考试要求1.探索并了解基本不等式的证明过程2. 掌握基本不等式 (a，b0)及其应用.核心素养培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解决实际问题3.基本不等式的综合应用【知识清单】1重要不等式当a、b是任意实数时，有a2b22ab，当且仅当a=b时，等号成立2基本不等式当a0，b0时有，当且仅当a=b时，等号成立3基本不等式与最值已知x、y都是正数(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和。

2、xy取得最小值4.常用推论（1）（）（2）（，）；（3）【考点分类剖析】考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1.（2021山西高三二模（文）证明：；【答案】证明见解析.【解析】由不等式，令，则有，即可证得.例2.已知a0，b0，ab1，求证：.【答案】见解析【解析】，.同理，.，当且仅当，即时取“”，当且仅当时等号成立【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等【变式探究】1.求证:【答案】见解析【解析】证明:由基本不等。

3、式和得=当且仅当即时取等号.2.已知、都是正数，求证：【答案】见解析【解析】、都是正数 （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）即.考点二：利用基本不等式求最值例3.【多选题】（2021辽宁葫芦岛市高三一模）设正实数a，b满足，则（ ）A有最小值4B有最大值C有最大值D有最小值【答案】ACD【解析】根据基本不等式结合不等式的性质判断【详解】因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，A正确；，B错误；，C正确；，D正确故选：ACD例4.（2021浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是_【答案】【解析】由已知不等式可解得，换元，设，则。

4、所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论【详解】因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，则，时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，所以的最小值是故答案为：【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） 若涉及的变。

5、量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（ ）ABCD3【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.2.（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为_.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 考点三：基本不等式的实际应用例5.（2021陕西西安市交大附中高三其他模拟（理）已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（ ）A。

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