新向标教育 淘金卷2023年普通高等学校招生考试模拟金卷2文理 数学

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新向标教育 淘金卷2023年普通高等学校招生考试模拟金卷2文理 数学试卷答案

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2．求下列各曲线的标准方程
（1）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线过点（4，$\sqrt{3}$），且渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，则该双曲线的标准方程．

分析由设备每年10%的折旧率可得出人口数y（万元）与年份n（年）的函数关系式，由条件列出方程化简后，利用对数的定义、换底公式求出答案．

解答解：由题意得，一年后，该设备的价值y=200•（1-0.1），
二年后，该设备的价值y=200•（1-0.1）²
n年后，该设备的价值y=200•（1-0.1）ⁿ=200×0.9ⁿ，（n∈N⁺），
令200×0.9ⁿ=200×50%得，0.9ⁿ=$\frac{1}{2}$，
则n=${log}_{0.9}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{lg\frac{1}{2}}{lg0.9}$=$\frac{lg1-lg2}{lg0.9}$≈$\frac{0-0.3010}{-0.046}$≈6.543，
所以7年后价值为原来的50%，
故答案为：7．

点评本题是指数函数的应用题，以及对数的定义、换底公式的应用，列出指数型的关系式是解答的关键，考查计算能力，属于中档题．

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