2023届衡水金卷先享题压轴卷答案 新教材二文理 数学

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2023届衡水金卷先享题压轴卷答案 新教材二文理 数学试卷答案

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4．（1）已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值．
①a+a^-1；   
②a²+a^-2．
（2）计算（2$\frac{7}{9}$）⁰+（0.1）^-1+lg$\frac{1}{50}$-lg2+（$\frac{1}{7}$）^-1+log₇5的值．

分析由椭圆的定义结合三角形的性质，即可求出表达式的最小值．

解答解：因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的a=5，b=3，c=4，所以F₁（-4，0），
|F₁A|=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$
由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₂|+|PA|+|F₁A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₂|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₁A|=10-5$\sqrt{2}$，
∴|PF₂|+|PA|的最小值为10-5$\sqrt{2}$，
故答案为：10-5$\sqrt{2}$．

点评本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．

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