压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)

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1、压轴大题突破练压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B在直线l：x1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过(1)中轨迹E上的点P(1，2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点.试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解(1)依题意，得|MA|MB|.动点M的轨迹E是以A(1，0)为焦点，直线l：x1为准线的抛物线， 动点M的轨迹E的方程为y24x.(2)P(1，2)，C(x1，y1。

2、)，D(x2，y2)在抛物线y24x上，由得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，直线CD的斜率为kCD.设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为k，则直线PC方程为y2k(x1)，由得ky24y4k80.由2y1，求得y12，同理可求得y22.kCD1，直线CD的斜率为定值1 .2.如图所示，椭圆1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y1上，且椭圆的离心率e.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQy轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OMMN.(1)解依题意，得b1.因为e，又a2c2b2，所以a。

3、24.所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明设点P的坐标为(x0，y0)，x00，因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以y1.因为PQy轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0).因为M为线段PQ的中点，所以M.又点A的坐标为(0，1)，可得直线AM的方程为yx1.因为x00，所以y01，令y1，得C.因为点B的坐标为(0，1)，点N为线段BC的中点，所以N.所以向量.又，所以y0(y01)yy0y01(1y0)y00.所以OMMN.3.椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.设动直线l：ykxm与椭圆E相切于点P且交直线x2于点N，PF1F2的周长为2(1).(1)求椭圆。

4、E的方程；(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2.(1)解设F1(c，0)，F2(c，0)，则解得a，c1.b2a2c21，椭圆E的方程为y21.(2)解由(12k2)x24kmx2(m21)0.设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，则0，化简2k21m2，焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1，d2，则d1d21.(3)证明x0，y0kx0mm，P(，).又联立ykxm与x2，得到N(2，2km)，(1，)，(1，2km).(1，)(1，2km)1(2km)110.，以PN为直径的圆恒过点F2.4.已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2。

5、，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.(1)解由题意知b1，e，得a22c22a22b2，故a22.故所求椭圆C的方程为y21.(2)解设l：yk(x2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(12k2)x28k2x8k220.由0得0k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2k2(x12)(x22)(1k2)x1x22k2(x1x2)4k25.0k2，7，故所求范围是2，).(3)证明由对称性可知N(x2，y2)，定点在x轴上，直线AN：yy1(xx1).令y0得：xx11，故直线AN恒过定点(1，0).。

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